Faisons varier une variable. Considérons que nous augmentons sa valeur continûment (c'est-à-dire sans faire de saut) et même à vitesse constante. On peut se représenter cette variable comme un curseur que l’on déplacerait sur l’axe des réels dans le sens positif, en un mouvement « rectiligne uniforme », comme disent les physiciens, de façon qu’il représente sommairement quelque chose comme l’écoulement du temps.
À cette variable « temporelle », par le truchement d’une fonction, lions-en une seconde. Lorsque la première variable, l’opérande, varie, la seconde, son image, varie aussi ; mais pas forcément de la même manière. Elle peut augmenter elle aussi, mais en accélérant ou en décélérant ; elle peut diminuer, osciller, bondir… Tout dépend de la fonction qui la lie à la première variable… et de l’intervalle où se trouve cette variable. Lorsque l’image augmente, on dira que la fonction est croissante ; et quand elle diminue, que la fonction est décroissante. C’est la discrimination de ces deux cas qu’on appelle le sens de variation d’une fonction. Ce sens de variation, pour une même fonction, peut changer.
Il est particulièrement intéressant mais aussi particulièrement difficile de savoir à quel moment exactement une fonction donnée change de sens de variation. Intéressant car à cet instant, elle atteint une valeur maximale ou minimale, dont la connaissance peut être utile aussi bien en mathématiques que dans d’autres domaines, comme en physique. Difficile, car le problème ne se laisse pas comme cela mettre en équation : on veut savoir à quel moment une valeur maximale est atteinte, mais sans connaître cette valeur. Ou l’on veut connaître cette valeur, mais sans savoir exactement à quel moment elle est atteinte. C’est comme si nous avions deux inconnues pour une seule équation. On manque d’une méthode, voire d’un concept, qui permette de traduire algébriquement l’idée que l’image, dans son mouvement, passe par un instant où sa vitesse s’annule.
La première chose à faire, pour aborder le concept délicat du sens de variation, sera d’en élaborer une définition. Mais ce n’est pas chose aisée, car on entend par fonction croissante, sur un intervalle donné, une fonction dont l’image ne cesse de croître, une fonction dont l’image, sur cet intervalle, ne décroît à aucun moment. Il ne suffira donc pas de tester la valeur prise par la fonction au début et à la fin de l’intervalle considéré, mais partout. Cela fait une infinité de comparaisons…