Équation d'une courbe...

...ou d'une droite. Bref, d'une ligne.




Considérons un point M(x ; y), libre tout d’abord de se déplacer à sa guise dans le plan. Si ensuite on restreint cette liberté en imposant une relation entre ses coordonnées x et y, on va limiter le domaine sur lequel M pourra se promener. Lorsque la contrainte imposée prend la forme d’une égalité mobilisant les opérations classiques de l'algèbre, le domaine en question prend, lui, en général, la forme d'une jolie ligne courbe.



Par exemple, si l’on impose que l'ordonnée soit le carré de l'abscisse par la relation y = x2, alors, M se promène sur une courbe appelée parabole. Cette courbe était connue, bien avant l'invention des coordonnées, comme étant l'ensemble des points du plan situés à égale distance d'un point donné et d'une droite donnée.



De cette façon, par une simple égalité posant une relation entre l’abscisse et l’ordonnée, on peut définir, puis étudier efficacement, de nombreuses courbes géométriques. On dit que l’égalité en question est une « équation » de la courbe qu’elle décrit. (Le mot « équation » n’a pas ici le sens qu’il a habituellement.) C’était cela, l’idée fondamentale de Descartes dans La Géométrie : capturer les courbes mathématiques par une égalité simple, de façon à faire entrer leur étude dans le domaine de l’algèbre.




En seconde, on étudie uniquement les équations de droites. Mais il serait intellectuellement suicidaire de restreindre d’emblée le concept général à ce cas très particulier sans d’abord faire en sorte de bien le saisir dans toute son amplitude. Cet écrasement trop précoce d’une nouvelle notion est responsable de bien des dégâts pédagogiques. Pour comprendre ce qu’est une « équation de droite », il faut comprendre le mot « équation » dans le sens particulier qu’il a dans ce contexte. De même que pour comprendre ce qu’était une « fonction affine », il fallait d’abord comprendre ce qu’était une fonction.